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La mwcaretta o mwcqlinea retta è uno dei tre mwcgenti geometrici fondamentali della mwcwgeometria euclidea. Viene definita da mwdaEuclide nei suoi mwdqmwdgElementi come un mwdwconcetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola mweadimensione.

La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è mweginfinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'mwewalfabeto latino (solitamente con la mwfar).

• Definizione geometrica

• Retta nel piano cartesiano

• Retta nello spazio euclideo tridimensionale

• Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale

• Distanza tra rette

• Distanza tra rette parallele

• Distanza tra rette sghembe

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La retta è il secondo ente fondamentale della mwgageometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la mwgqlunghezza.

Una retta può mwhwgiacere (cioè essere contenuta) nel mwiapiano o nello mwiqspazio tridimensionale.

Due rette nel piano possono essere:

• mwjqmwjgIncidenti se hanno un unico punto in comune.

• Un caso particolare di rette incidenti si ha quando le due rette formano nel punto di intersezione quattro mwkqangoli retti, in tal caso sono dette mwkgmwkwperpendicolari

• mwlqmwlgParallele se non si intersecano o se hanno tutti i punti in comune; in questo caso sono coincidenti. Due rette parallele nel piano mantengono sempre la stessa distanza tra di loro (questa caratteristica, tipica della mwlwgeometria euclidea, non è verificata per esempio nella mwmageometria iperbolica, dove due rette parallele possono divergere).

Due rette nello spazio possono essere:

• mwnamwnqComplanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono mwngincidenti se si intersecano e mwnwparallele altrimenti.

• mwoqmwogSghembe se non sono contenute in un piano comune, e di conseguenza non hanno punti in comune né sono parallele.

Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.

Una retta nel mwpwpiano cartesiano è descritta da un'mwqaequazione lineare

mwqw a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0}

dove i coefficienti mwrq a {\displaystyle a} , mwrg b {\displaystyle b} e mwrw c {\displaystyle c} sono dei mwsanumeri reali fissati, con mwsq a {\displaystyle a} e mwsg b {\displaystyle b} non contemporaneamente nulli.

Se mwta b ≠ ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} oppure mwtq a ≠ ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , è possibile descrivere la stessa retta in mwtgforma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:

mwuq y = m x + q {\displaystyle y=mx+q} oppure mwug x = m ′ y + q ′ {\displaystyle x=m'y+q'}

dove mwva m {\displaystyle m} si chiama mwvqmwvgcoefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto mwvw q {\displaystyle q} rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle mwwa y {\displaystyle y} (mwwqordinata all'origine o mwwgmwwwintercetta), nella seconda il termine noto mwxa q ′ {\displaystyle q'} rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle mwxq x {\displaystyle x} .

Nello mwyaspazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite mwyqequazioni cartesiane come luogo di intersezione di due mwygpiani non paralleli:

mwzq { a x + b y + c z + d = 0 a ′ x + b ′ y + c ′ z + d ′ = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=0\end{matrix}}\right.}

In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro mwzw t {\displaystyle t} ed è sempre possibile ricavare un insieme di mwaaequazioni parametriche per la retta:

mwaw { x = x o + l t y = y o + m t z = z o + n t {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x_{o}+lt\\y=y_{o}+mt\\z=z_{o}+nt\end{matrix}}\right.}

dove il mwbqvettore mwbg v = l i + m j + n k {\displaystyle {\mathbf {v} }=l{\mathbf {i} }+m{\mathbf {j} }+n{\mathbf {k} }} è un vettore parallelo alla retta e il punto mwbw P ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle P(x_{0},y_{0},z_{0})} è un punto appartenente alla retta. Se mwca l , m , n {\displaystyle l,m,n} sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette mwcqequazioni simmetriche della retta:

mwda x − − x 0 l = y − − y 0 m = z − − z 0 n {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}}

Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.

Nello mweaspazio euclideo mweq n {\displaystyle n} -dimensionale mweg R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , una mwewretta è un insieme dei punti del tipo

mwfg r = { x 0 + t v | t ∈ ∈ R } {\displaystyle r=\{\mathbf {x} _{0}+t\mathbf {v} \ |\ t\in \mathbb {R} \}}

dove mwga x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} e mwgq v {\displaystyle \mathbf {v} } sono due mwggvettori fissati in mwgw R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} con mwha v {\displaystyle \mathbf {v} } diverso da zero. Il vettore mwhq v {\displaystyle \mathbf {v} } descrive la direzione della retta, mentre mwhg x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori mwhw x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} e mwia v {\displaystyle \mathbf {v} } possono descrivere la stessa retta.

Questa definizione di retta nello spazio di dimensione mwig n {\displaystyle n} è una estensione della rappresentazione in mwiwforma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in mwjaforma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il mwjqteorema di Rouché-Capelli sono necessarie mwjg n − − 1 {\displaystyle n-1} equazioni.

Si definisce come distanza tra due rette mwkq r {\displaystyle r} e mwkg r ′ {\displaystyle r'} la distanza minima tra due punti mwkw P ∈ ∈ r {\displaystyle P\in r} e mwla P ′ ∈ ∈ r ′ {\displaystyle P'\in r'} .

Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (mwlgrette parallele e mwlwsghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette mwma r {\displaystyle \mathbf {r} } e mwmq r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } di equazioni parametriche rispettivamente:

mwna r = a + b t e r ′ = c + d t ′ {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {a} +\mathbf {b} t\qquad e\qquad \mathbf {r'} =\mathbf {c} +\mathbf {d} t'}

dove mwng b {\displaystyle \mathbf {b} } e mwnw d {\displaystyle \mathbf {d} } sono i loro vettori direzionali e mwoa a {\displaystyle \mathbf {a} } e mwoq c {\displaystyle \mathbf {c} } i vettori associati al punto mwog T {\displaystyle T} della retta mwow r {\displaystyle \mathbf {r} } e al punto mwpa T ′ {\displaystyle T'} della retta mwpq r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } , relativamente alla terna cartesiana mwpg X Y Z {\displaystyle \mathbf {\mathit {XYZ}} } .

Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di mwqq r {\displaystyle \mathbf {r} } segnato dal vettore mwqg a {\displaystyle \mathbf {a} } . Ogni punto della retta mwqw r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } può essere espresso nella forma mwra c + t ′ d {\displaystyle \mathbf {c} +t'\mathbf {d} } . Se chiamo mwrq q {\displaystyle \mathbf {q} } il vettore ortogonale a mwrg b {\displaystyle \mathbf {b} } che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare

mwsq 0 = q ⋅ ⋅ b = ( c + t ′ d − − a ) ⋅ ⋅ b {\displaystyle 0=\mathbf {q} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {c} +t'\mathbf {d} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} }

Ottenuto mwsw q {\displaystyle \mathbf {q} } risolvendo la precedente equazione (incognita in mwta t ′ {\displaystyle t'} ) è sufficiente calcolare la norma di mwtq q {\displaystyle \mathbf {q} } quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza mwtg d ( r , s ) {\displaystyle d(r,s)} fra due rette parallele mwtw r {\displaystyle r} e mwua s {\displaystyle s} si può scrivere come:

mwvw d ( r , s ) = | r s × × v | v | | {\displaystyle d(r,s)=\left|\mathbf {rs} \times {\frac {\mathbf {v} }{\left|\mathbf {v} \right|}}\right|}

dove il vettore mwwq v {\displaystyle \mathbf {v} } è un vettore parallelo alle rette e il vettore mwwg r s {\displaystyle \mathbf {rs} } è il vettore che congiunge un punto mwww R ( x r , y r , z r ) {\displaystyle R(x_{r},y_{r},z_{r})} della retta mwxa r {\displaystyle r} e un punto mwxq S ( x s , y s , z s ) {\displaystyle S(x_{s},y_{s},z_{s})} della retta mwxg s {\displaystyle s} ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore mwxw r s {\displaystyle \mathbf {rs} } nel verso ortogonale alle stesse.

Dimostrazione: dalle formule del mwyqprodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta: mwyg | r s | s i n θ θ {\displaystyle \ \left|\mathbf {rs} \right|\,\mathrm {sin} \,\theta }

Se definiamo mwzq q {\displaystyle \mathbf {q} } come il vettore ortogonale a mwzg b e d {\displaystyle \mathbf {b} {\mbox{ e }}\mathbf {d} } , la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di mwzw q {\displaystyle \mathbf {q} } . I tre vettori mw0a q {\displaystyle \mathbf {q} } , mw0q b {\displaystyle \mathbf {b} } e mw0g d {\displaystyle \mathbf {d} } sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore mw0w a − − c {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {c} } lungo le tre componenti. Quindi

mw1g ( a − − c ) = ( a − − c ) ⋅ ⋅ b ‖ ‖ b ‖ ‖ b ‖ ‖ b ‖ ‖ + ( a − − c ) ⋅ ⋅ d ‖ ‖ d ‖ ‖ d ‖ ‖ d ‖ ‖ + ( a − − c ) ⋅ ⋅ q ‖ ‖ q ‖ ‖ q ‖ ‖ q ‖ ‖ {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {c} )={\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {b} }{\|b\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\|b\|}}+{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {d} }{\|d\|}}{\frac {\mathbf {d} }{\|d\|}}+{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {q} }{\|q\|}}{\frac {\mathbf {q} }{\|q\|}}}

Molto semplicemente si ricava che

mw2g ( a − − c ) − − ( a − − c ) ⋅ ⋅ b ‖ ‖ b ‖ ‖ b ‖ ‖ b ‖ ‖ − − ( a − − c ) ⋅ ⋅ d ‖ ‖ d ‖ ‖ d ‖ ‖ d ‖ ‖ = ( a − − c ) ⋅ ⋅ q ‖ ‖ q ‖ ‖ q ‖ ‖ q ‖ ‖ = q {\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {c} )-{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {b} }{\|b\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\|b\|}}-{\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {d} }{\|d\|}}{\frac {\mathbf {d} }{\|d\|}}={\frac {(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\cdot \mathbf {q} }{\|q\|}}{\frac {\mathbf {q} }{\|q\|}}=\mathbf {q} }

con riferimento all'equazione parametrica la distanza mw3a d ( r , s ) {\displaystyle d(r,s)} fra due rette sghembe mw3q r {\displaystyle r} e mw3g s {\displaystyle s} si può scrivere come:

mw4q d ( r , s ) = | r s ⋅ ⋅ n | n | | {\displaystyle d(r,s)=\left|\mathbf {rs} \cdot {\frac {\mathbf {n} }{\left|\mathbf {n} \right|}}\right|}

dove il vettore mw4w r s {\displaystyle \mathbf {rs} } è il vettore che congiunge un punto mw5a R ( x r , y r , z r ) {\displaystyle R(x_{r},y_{r},z_{r})} della retta mw5q r {\displaystyle r} che ha vettore parallelo mw5g v r {\displaystyle \mathbf {vr} } e un punto mw5w S ( x s , y s , z s ) {\displaystyle S(x_{s},y_{s},z_{s})} della retta mw6a s {\displaystyle s} che ha vettore parallelo mw6q v s {\displaystyle \mathbf {vs} } , il vettore mw6g n {\displaystyle \mathbf {n} } è il vettore ortogonale mw6w n = v r × × v s {\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {vr} \times \mathbf {vs} } ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore mw7a r s {\displaystyle \mathbf {rs} } nel verso del vettore mw7q n {\displaystyle \mathbf {n} } .

Dimostrazione: dalle formule del mw7wprodotto scalare il modulo del versore è unitario, restamw8a : mw8q | r s | cos ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle \left|\mathbf {rs} \right|\cos \theta }

• mw-aSemiretta

• mw-gPiano (geometria)

• mw-aPerpendicolarità

• mw-gParallelismo (geometria)

• mwaqaRetta proiettiva

• mwaqiSegmento

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikiversità

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «retta»

• Wikiversità contiene risorse sulla retta

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla retta

• citereftreccani-itretta, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaAnnibale Comessatti, RETTA, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1936.

• citerefsapere-itrètta, su sapere.it, De Agostini.

• citerefenciclopedia-della-matematicaretta, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefdizionario-di-economia-e-finanzaRetta, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.

• citerefbritannica-com(EN) line, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Line, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Line (curve), su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.